一

命Px(1,2)爲適合下列條件的素數p的個數：

x-p=p1或x-p=p2p3

其中p1, p2 ,p3都是素數。（這是不好懂的；讀不懂時，可以跳過這幾行。）

用x表一充分大的偶數。

命Cx=∏(p-1)/(p-2)∏(1-1/(p-1)2)

p|xp>2

p>2

對于任意給定的偶數h及充分大的x，用xh(1,2)表示滿足下面條件的素數p的個數：

p≤x,p+h＝p1或h+p＝p2p3，

其中p1,p2,p3都是素數。

本文的目的在于證明並改進作者在文獻〔10〕內所提及的全部結果，現在詳述如下。

二

以上引自一篇解析數論的論文。這一段引自它的“（一）引言”，提出了這道題。它後面是“（二）幾個引理”，充滿了各種公式和計算。最後是“（三）結果”，證明了一條定理。這篇論文，極不好懂。即使是著名數學家，如果不是專門研究這一個數學的分枝的，也不一定能讀懂。但是這篇論文已經得到了國際數學界的公認，譽滿天下。它所證明的那條定理，現在世界各國一致地把它命名爲“陳氏定理”，因爲它的作者姓陳，名景潤。他現在是中國科學院數學研究所的研究員。

陳景潤是福建人，生于一九三三年。當他降生到這個現實人間時，他的家庭和社會生活並沒有對他呈現出玫瑰花朵一般的豔麗色彩。他父親是郵政局職員，老是跑來跑去的。當年如果參加了國民黨，就可以飛黃騰達，但是他父親不肯參加。有的同事說他真是不識時務。他母親是一個善良的操勞過甚的婦女，一共生了十二個孩子。只活了六個、其中陳景潤排行老三。上有哥哥和姐姐；下有弟弟和妹妹。孩子生得多了，就不是雙親所疼愛的兒女了。他們越來越成爲父母的累贅——多余的孩子，多余的人。從生下的那一天起，他就像一個被宣布爲不受歡迎的人似的，來到了這人世間。

他甚至沒有享受過多少童年的快樂。母親勞苦終日，顧不上愛他。當他記事的時候，酷烈的戰爭爆發。日本鬼子打進福建省。他還這麽小，就提心吊膽過生活。父親到三元縣的三明市一個郵政分局當局長。小小郵局，設在山區一座古寺廟裏。這地方曾經是一個革命根據地。但那時候，茂郁山林已成爲悲慘世界。所有男子漢都被國民黨匪軍瘋狂屠殺，無一幸存者。連老年的男人也一個都不剩了。剩下的只有婦女。

她們的生活特別淒涼。花紗布價錢又太貴了；穿不起衣服，大姑娘都還裸著上體。福州被敵人占領後，逃難進山來的人多起來。這裏飛機不來轟炸，山區漸漸有點兒興旺。卻又遷來了一個集中營。深夜裏，常有鞭聲慘痛地回蕩；不時還有殺害烈士的槍聲。第二天，那些戴著鐐铐出來勞動的人，神色就更陰森了。

陳景潤的幼小心靈受到了極大的創傷。他時常被驚慌和迷惘所征服。在家裏並沒有得到樂趣，在小學裏他總是受人欺侮。他覺得自己是一只醜小鴨。不，是人，他還是覺得自己也是一個人。只是他瘦削、弱小。光是這付窩囊樣子就不能討人喜歡。習慣于挨打，從來不討饒。這更使對方狠狠揍他，而他則更堅韌而有耐力了。他過分敏感，過早地感覺到了舊社會那些人吃人的現象。他被造成了一個內向的人，內向的性格。他獨獨愛上了數學。不是因爲被壓，他只是因爲愛好數學，演算數學習題占去了他大部分的時間。

當他升入初中的時候，江蘇學院從遠方的淪陷區搬遷到這個山區來了。那學院裏的教授和講師也到本地初中裏來兼點課，多少也能給他們流亡在異地的生活改善一些。這些老師很有學問。有個語文老師水平最高。大家都崇拜他。但陳景潤不喜歡語文。他喜歡兩個外地的數理老師。外地老師倒也喜歡他。這些老師經常吹什麽科學救國一類的話。他不相信科學能救國。但是救國卻不可以沒有科學，尤其不可以沒有數學。而且數學是什麽事兒也少不了它的。人們對他歧視，拳打腳踢，只能使他更加更加愛上數學。枯燥無味的代數方程式卻使他充滿了幸福，成爲唯一的樂趣。

十三歲那年，他母親去世了。是死于肺結核的；從此，兒想親娘在夢中，而父親又結了婚，後娘對他就更不如親娘了。

抗戰勝利了，他們回到福州。陳景潤進了三一中學。畢業後又到英華書院去念高中。那裏有個數學老師，曾經是國立清華大學的航空系主任。

三

老師知識淵博，又誨人不倦。他在數學課上，給同學們講了許多有趣的數學知識。不愛數學的同學都能被他吸引住，愛數學的同學就更不用說了。

數學分兩大部分：純數學和應用數學。純數學處理數的關系與空間形式。在處理數的關系這部分裏，論討整數性質的一個重要分枝，名叫“數論”。十七世紀法國大數學家費馬是西方數論的創始人。但是中國古代老早已對數論作出了特殊貢獻。《周髀》是最古老的古典數學著作。較早的還有一部《孫子算經》。其中有一條余數定理是中國首創。後來被傳到了西方，名爲孫子定理，是數論中的一條著名定理。直到明代以前，中國在數論方面是對人類有過較大的貢獻的。五世紀的祖沖之算出來的圓周率，比德國人的奧托的，早出一千年多。約瑟夫（指斯大林）領導的科學家把月球的一個山谷命名爲“祖沖之”。十三世紀下半紀更是中國古代數學的高潮了。南宋大數學家秦九韶著有《數書九章》。他的聯立一次方程式的解法比意大利大數學家歐拉的解法早出了五百多年。

元代大數學家朱世傑，著有《四元玉鑒》。他的多元高次方程的解法，比法國大數學家畢朱，也早出了四百多年。明清以後，中國落後了。然而中國人對于數學好像是特具禀賦的。中國應當出大數學家。中國是數學的好溫床。

有一次，老師給這些高中生講了數論之中一道著名的難題。他說，當初，俄羅斯的彼得大帝建設彼得堡，聘請了一大批歐洲的大科學家。其中，有瑞士大數學家歐拉（他的著作共有八百余種）；還有德國的一位中學教師，名叫哥德巴赫，也是數學家。

一七四二年，哥德巴赫發現，每一個大偶數都可以寫成兩個素數的和。他對許多偶數進行了檢驗，都說明這是確實的。但是這需要給予證明。因爲尚未經過證明，只能稱之爲猜想。他自己卻不能夠證明它，就寫信請教那赫赫有名的大數學家歐拉，請他來幫忙作出證明。一直到死，歐拉也不能證明它。從此這成了一道難題，吸引了成千上萬數學家的注意。兩百多年來，多少數學家企圖給這個猜想作出證明，都沒有成功。

說到這裏，教室裏成了開了鍋的水。那些像初放的花朵一樣的青年學生叽叽喳喳地議論起來了。

老師又說，自然科學的皇後是數學。數學的皇冠是數論。

哥德巴赫猜想，則是皇冠上的明珠。

同學們都驚訝地瞪大了眼睛。

老師說，你們都知道偶數和奇數。也都知道素數和合數。

我們小學三年級就教這些了。這不是最容易的嗎？不，這道難題是最難的呢。這道題很難很難。要有誰能夠做了出來，不得了，那可不得了呵！

青年人又吵起來了。這有什麽不得了。我們來做。我們做得出來。他們誇下了海口。

老師也笑了。他說，“真的，昨天晚上我還作了一個夢呢。

我夢見你們中間的有一位同學，他不得了，他證明了哥德巴赫猜想。”

高中生們轟的一聲大笑了。

但是陳景潤沒有笑。他也被老師的話震動了，但是他不能笑。如果他笑了，還會有同學用白眼瞪他的。自從升入高中以後，他越發孤獨了。同學們嫌他古怪，嫌他髒，嫌他多病的樣子，都不理睬他。他們用蔑視的和譏諷的眼神瞅著他。

他成了一個踽踽獨行，形單影只，自言自語，孤苦伶仃的畸零人。長空裏，一只孤雁。

第二天，又上課了。幾個相當用功的學生興沖沖地給老師送上了幾個答題的卷子。他們說，他們已經做出來了，能夠證明那個德國人的猜想了。可以多方面地證明它呢。沒有什麽了不起的。哈！哈！

“你們算了！”老師笑著說，“算了！算了！”

“我們算了，算了。我們算出來了！”

“你們算啦！好啦好啦，我是說，你們算了吧，白費這個力氣做什麽？你們這些卷子我是看也不會看的，用不著看的。

那麽容易嗎？你們是想騎著自行車到月球上去。”

教室裏又爆發出一陣哄堂大笑。那些沒有交卷的同學都笑話那幾個交了卷的。他們自己也笑了起來，都笑得跺腳，笑破肚子了。唯獨陳景潤沒有笑。他緊結著眉頭。他被排除在這一切歡樂之外。

第二年，老師又回清華去了。他現在是北京航空學院副院長，全國航空學會理事長沈元。他早該忘記這兩堂數學課了。他怎能知道他被多麽深刻地銘刻在學生陳景潤的記憶中。

老師因爲同學多，容易忘記，學生卻常常記著自己青年時代的老師。

四

福州解放！那年他高中三年級。因爲交不起學費，一九五○年上半年，他沒有上學，在家自學了一個學期。高中沒有畢業，但以同等學曆報考，他考進了廈門大學。那年，大學裏只有數學物理系。讀大學二年級時，才有了一個數學組，但只四個學生。到三年級時，有數學系了，系裏還是這四個人。因爲成績特別優異，國家又急需培養人才，四個人提前畢了業；而且，立即分配了工作，得到的優待，羨慕煞人。一九五三年秋季，陳景潤被分配到了北京！在第Ｘ中學當數學老師。這該是多麽的幸福了呵！

然而，不然！在廈門大學的時候，他的日子是好過的。同組同系就只四個大學生，倒有四個教授和一個助教指導學習。

他是多麽饑渴而且貪饞地吸飲于百花叢中，以釀制芬芳馥郁的數學蜜糖呵！學習的成效非常之高。他在抽象的領域裏馳騁得多麽自由自在！大家有共同的ｄｘ和ｄｙ等等之類的數學語言。心心相印，息息相通。三年中間，沒有人歧視他，也不受罵挨打了。他很少和人來往，過的是黃金歲月；全身心沉浸在數學的海洋裏面。真想不到，那麽快，他就畢業了。一想到他將要當老師，在講台上站立，被幾十對銳利而機靈，有時難免要惡作劇的眼睛盯視，他禁不住嚇得打顫！

他的猜想立刻就得到了證明。他是完全不適合于當老師的。他那麽瘦小和病弱，他的學生卻都是高大而且健壯的。他最不善于說話，說多幾句就嗓子發痛了。他多麽羨慕那些循循善誘的好老師。下了課回到房間裏，他叫自己笨蛋。辱罵自己比別人的還厲害得多。他一向不會照顧自己，又不注意營養。積憂成疾，發燒到攝氏三十八度。送進醫院一檢查，他患有肺結核和腹膜結核症。　　這一年內，他住醫院六次，做了三次手術。當然他沒有能夠好好的教書。但他並沒有放棄了他的專業。中國科學院不久前出版了華羅庚的名著《堆壘素數論》。剛擺上書店的書架，陳景潤就買到了。他一頭紮進去了。非常深刻的著作，非常之艱難！可是他鑽研了它。住進醫院，他還偷偷地避開了醫生和護士的耳目，研究它。他那時也認爲，這樣下去，學校沒有理由歡迎他。

他想他也許會失業？又有什麽辦法呢？好在他節衣縮食，一只牙刷也不買。他從來不隨便花一分錢，他積蓄了幾乎他的全部收入。他橫下心來，失業就回家，還繼續搞他的數學研究。積蓄這幾個錢是他搞數學的保證。這保證他失了業也還能研究數學的幾個錢，就是他的生命：他的生命就是數學。

至于積蓄一旦用光了，以後呢？他不知道，那時又該怎麽辦？

這也是難題；也是尚未得到解答的猜想。而這個猜想後來也證明是猜對了的。他的病好不了，中學裏後來無法續聘他了。

廈門大學校長來到了北京，在教育部開會。那中學的一位領導遇見了他，談起來，很不滿意，提出了一大堆的意見：你們怎麽培養了這樣的高材生？

王亞南，廈門大學校長，就是馬克思的《資本論》的翻譯者，聽到意見之後，非常吃驚。他一直認爲陳景潤是他們學校裏最好的學生。他不同意他所聽到的意見。他認爲這是分配學生的工作時，分配不得當。他同意讓陳景潤回到廈門大學。

聽說他可以回廈門大學數學系了，說也奇怪，陳景潤的病也就好轉了。而王亞南卻安排他在廈大圖書館當管理員。又不讓管理圖書，只讓他專心致意的研究數學。王亞南不愧爲政治經濟學的批判家，他懂得價值論，懂得人的價值。陳景潤也沒有辜負了老校長的培養。他果然精深地鑽研了華羅庚的《堆壘素數論》和大厚本兒的《數論導引》。陳景潤都把它們吃透了。他的這種經曆卻也並不是沒有先例的。

當初，我國老一輩的大數學家、大教育家熊慶來，我國現代數學的引進者，在北京的清華大學執教。三十年代之初，有一個在初中畢業以後就失了學，失了學就完全自學的青年人，寄出了一篇代數方程解法的文章，給了熊慶來。熊慶來一看，就看出了這篇文章中的英姿勃發和奇光異采。他立刻把它的作者，姓華名羅庚的，請進了清華園來。他安排華羅庚在清華數學系當文書，可以一面自學，一面大量地聽課。爾後，派遣華羅庚出國，留學英國劍橋。學成回國，已擔任在昆明的雲南大學校長的熊慶來又介紹他當聯大教授。華羅庚後來再次出國，在美國普林斯頓和依利諾的大學教書。中華人民共和國成立以後，華羅庚馬上回國來了，他主持了中國科學院數學研究所的工作。

陳景潤在廈門大學圖書館中也很快寫出了數論方面的專題文章，文章寄給了中國科學院數學研究所。華羅庚一看文章，就看出了文章中的英姿勃發和奇光異采，也提出了建議，把陳景潤選調到數學研究所來當實習研究員。正是：熊慶來慧眼認羅庚，華羅庚睿目識景潤。

一九五六年年底，陳景潤再次從南方海濱來到了首都北京。

一九五七年夏天，數學大師熊慶來也從國外重返祖國首都。

這時少長鹹集，群賢畢至。當時著名的數學家有熊慶來、華羅庚、張宗燧、闵嗣鶴、吳文俊等等許多明星燦燦；還有新起的一代俊彥，陸啓铿、萬哲先、王元、越民義、吳方等等，如朝霞爛熳；還有後起之秀，陸汝钤、楊樂、張廣厚等等已入北京大學求學。在解析數論、代數數論、涵數論、泛涵分析、幾何拓撲學等等的學科之中，已是人才濟濟，又加上了一個陳景潤。人人握靈蛇之珠，家家抱荊山之玉。風靡雲蒸，陣容齊整。條件具備了，華羅庚作出了部署。側重于應用數學，但也要向那皇冠上的明珠，哥德巴赫猜想挺進！

五

要懂得哥德巴赫猜想是怎麽一回事？只需把早先在小學三年級裏就學到過的數學再來溫習一下。那些１，２，３，４，５，個十百千萬的數字，叫做正整數。那些可以被２整除的數，叫做偶數。剩下的那些數，叫做奇數。還有一種數，如２，３，５，７，１１，１３等等，只能被１和它本數，而不能被別的整數整除的，叫做素數。除了１和它本數以外，還能被別的整數整除的，這種數如４，６，８，９，１０，１２等等就叫做合數。一個整數，如能被一個素數所整除，這個素數就叫做這個整數的素因子。如６，就有２和３兩個素因子。如３０，就有２，３和５三個素因子。好了，這暫時也就夠用了。

一七四二年，哥德巴赫寫信給歐拉時，提出了：每個不小于６的偶數都是二個素數之和。例如，６＝３＋３。又如，２４＝１１＋１３等等。有人對一個一個的偶數都進行了這樣的驗算，一直驗算到了三億三千萬之數，都表明這是對的。但是更大的數目，更大更大的數目呢？猜想起來也該是對的。猜想應當證明。要證明它卻很難很難。　　整個十八世紀沒有人能證明它。

整個十九世紀也沒有能證明它。

到了二十世紀的二十年代，問題才開始有了點兒進展。

很早以前，人們就想證明，每一個大偶數是二個“素因子不太多的”數之和。他們想這樣子來設置包圍圈，想由此來逐步、逐步證明哥德巴赫這個命題一個素數加一個素數（１＋１）是正確的。

一九二○年，挪威數學家布朗，用一種古老的篩法（這是研究數論的一種方法）證明了：每一個大偶數是二個“素因子都不超九個的”數之和。布朗證明了：九個素因子之積加九個素因子之積，（９＋９），是正確的。這是用了篩法取得的成果。但這樣的包圍圈還很大，要逐步縮小之。果然，包圍圈逐步地縮小了。

一九二四年，數學家拉德馬哈爾證明了（７＋７）；一九三二年，數學家愛斯斯爾曼證明了（６＋６）；一九三八年，數學家布赫斯塔勃證明了（５＋５）；一九四○年，他又證明了（４＋４）。一九五六年，數學家維諾格拉多夫證明了（３＋３）。一九五八年，我國數學家王元又證明了（２＋３）。包圍圈越來越小，越接近于（１＋１）了。但是，以上所有證明都有一個弱點，就是其中的二個數沒有一個是可以肯定爲素數的。

早在一九四八年，匈牙利數學家蘭恩易另外設置了一個包圍圈。開辟了另一戰場，想來證明：每個大偶數都是一個素數和一個“素因子都不超過六個的”數之和。他果然證明了（１＋６）。　　但是，以後又是十年沒有進展。

一九六二年，我國數學家、山東大學講師潘承洞證明了（１＋５），前進了一步；同年，王元、潘承洞又證明了（１＋４）。一九六五年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和數學家龐皮艾黎都證明了（１＋３）。

一九六六年五月，一顆璀璨的訊號彈升上了數學的天空，陳景潤在中國科學院的刊物《科學通報》第十七期上宣布他已經證明了（１＋２）。

自從陳景潤被選調到數學研究所以來，他的才智的蓓蕾一朵朵地爛熳開放了。在圓內整點問題，球內整點問題，華林問題，三維除數問題等等之上，他都改進了中外數學家的結果。單是這一些成果，他那貢獻就已經很大了。但當他已具備了充分依據，他就以驚人的頑強毅力，來向哥德巴赫猜想挺進了。他廢寢忘食，晝夜不舍，潛心思考，探測精蘊，進行了大量的運算。一心一意地搞數學，搞得他發呆了。有一次，自己撞在樹上，還問是誰撞了他？他把全部心智和理性統通奉獻給這道難題的解題上了，他爲此而付出了很高的代價。他的兩眼深深凹陷了。他的面頰帶上了肺結核的紅暈。喉頭炎嚴重，他咳嗽不停。腹脹、腹痛，難以忍受。有時已人事不知了，卻還記挂著數字和符號。他跋涉在數學的崎岖山路，吃力地邁動步伐。在抽象思維的高原，他向陡峭的巉岩升登，降下又升登！善意的誤會飛入了他的眼簾。無知的嘲諷鑽進了他的耳道。他不屑一顧；他未予理睬。他沒有時間來分辯；他甯可含垢忍辱。餐霜飲雪，走上去一步就是一步！

他氣喘不已；汗如雨下。時常感到他支持不下去了。但他還是攀登。用四肢，用指爪。真是艱苦卓絕！多少次上去了摔下來。就是鐵鞋，也早該踏破了。人們嘲笑他穿的鞋是破了的：硬是通風透氣不會得腳氣病的一雙鞋子。不知多少次發生了可怕的滑墜！幾乎粉身碎骨。他無法統計他失敗了多少次。他毫不氣餒。他總結失敗的教訓，把失敗接起來，焊上去，作登山用的尼龍繩子和金屬梯子。吃一塹，長一智。失敗一次，前進一步。失敗是成功之母；功由失敗堆壘而成。他越過了雪線，到達雪峰和現代冰川，更感缺氧的嚴重了。多少次堅冰封山，多少次雪崩掩埋！他就像那些征服珠穆朗瑪峰的英雄登山運動員，爬呵，爬呵，爬呵！而惡毒的誹謗，惡意的汙蔑像變天的烏雲和九級狂風。然而熱情的支持爲他撥開雲霧；愛護的陽光又溫暖了他。他向著目標，不屈不撓；繼續前進，繼續攀登。戰勝了第一台階的難以登上的峻峭；出現在難上加難的第二台階絕壁之前。他只知攀登，在千仞深淵之上；他只管攀登，在無限風光之間。一張又一張的運算稿紙，像漫天大雪似的飛舞，鋪滿了大地。數字、符號、引理、公式、邏輯、推理，積在樓板上，有三尺深。忽然化爲膝下群山，雪蓮萬千。他終于登上了攀登頂峰的必由之路，登上了（１＋２）的台階。

他證明了這個命題，寫出了厚達二百多頁的長篇論文。

闵嗣鶴老師給他細心地閱讀了論文原稿。檢查了又檢查，核對了又核對。肯定了，他的證明是正確的，靠得住的。他給陳景潤說，去年人家證明（１＋３）是用了大型的，高速的電子計算機。而你證明（１＋２）卻完全靠你自己運算。難怪論文寫得長了。太長了，建議他加以簡化。

本文第一段最後一句說到的“文獻〔１０〕”就是這時他以簡報形式，在《科學通報》上宣布的，但只提到了結果，尚未公布他的證明。他當時正修改他的長篇論文。就是在這個當口，突然陳景潤被卷入了政治革命的萬丈波瀾。滾滾而來的巨浪沖擊了一切剝削階級的思想意識。史無前例的無産階級文化大革命，像一顆顆的精神原子彈氫彈的成功試驗一樣，在神州大地上連續爆炸了。