1. 數學圖靈測試1.1. 能不能將這種計算機證明語言翻譯成易于與人交流的方式呢？1.1.1. 劍橋大學的兩位數學家蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers）和莫漢·加內薩林加姆（Mohan Ganesalingam）開展了此項研究1.1.1.1. 他們決定一起組建團隊，創建一個能夠生成人類直接能讀得懂的計算機證明1.1.2. 1998年，高爾斯成爲菲爾茨獎獲得者並登上新聞頭條，同年被聘爲勞斯·鮑爾（Rouse Ball）講席教授1.1.3. 莫漢·加內薩林加姆（Mohan Ganesalingam）1.1.3.1. 在劍橋大學三一學院學習數學，以第一名的成績拿到劍橋大學的數學專業學位，並獲得資深蘭格勒頭銜（Senior Wrangler），這是劍橋數學學子的最高榮譽1.1.3.2. 改行學英語，又以劍橋大學英語學院最佳成績畢業，獲得了盎格魯–撒克遜英語（Anglo-Saxon English）碩士學位1.1.3.3. 繼續攻讀計算機科學博士學位，從形式語言學角度對數學語言進行分析1.2. 本科一年級《度量空間》課程裏面的5個定理，每個定理包括3個不同的證明，分別由博士生、本科生和計算機算法完成1.2.1. 其目的是想了解在沒有任何提示的情況下，是否有人會懷疑這些證明不全是由人類完成的1.2.2. 通過對投票結果的統計分析，大約有50%的讀者識別出了由計算機算法生成的證明，但其中只有半數人確信自己的判斷是正確的1.2.3. 那些確信不是計算機證明而實際是計算機證明的投票占比也不容忽視1.2.4. 那些來自本科生的證明往往被誤認爲是計算機的證明1.3. 計算機在處理證明中那些煩冗、瑣碎環節時的能力越來越強，人機互動越來越少，這留給我們更多的時間和精力去自由地思考更“有趣”的環節1.3.1. 在計算機最終取代人類工作這一曆史發展進程中我看不到任何實質性的障礙，這可能會讓人感到難過1.3.2. 但實現這一目標的過程卻讓人憧憬和興奮2. 數學寓言2.1. 素數又稱質數，是一個大于1的自然數，且除了1和它本身外，不能被其他自然數整除2.2. 素數就像一座座山峰，重巒疊嶂，綿延不絕2.2.1. 後輩數學家們肩負的任務就是尋找一條從熟知的領域出發，通向這片未知新世界的道路2.3. 證明是一場“按圖索骥”的旅程，地圖上標定了穿越的路徑2.3.1. 成功的證明是一組路標，指引所有後輩數學家走完相同的旅程2.3.2. 證明的讀者們將通過地圖所指的道路抵達遙不可及的高峰，體會到和作者一樣的驚喜和感動2.3.3. 很多時候，證明不是尋找i和t的交點，就像故事不會呈現某角色的每個生活細節2.3.3.1. 它是對整個旅程的描述，而不是具體步驟的重現2.3.4. 數學家提供的論據旨在引導讀者的思想。2.4. 結尾即是故事的開始，倒敘是數學故事最特別的地方2.4.1. 問題在于故事情節如何設計才能從當前背景到達這一高潮2.5. 反證法是數學家工具箱中常用的敘事工具，就像《愛麗絲夢遊仙境》或《綠野仙蹤》一樣，想象出一個完全相反的世界，並試圖證明這個世界是真實的，直到故事以一個荒謬的結局告終2.5.1. 任何有限的素數列表都會丟失一些素數，因此，素數的個數必須是無窮的2.5.2. “素數有無窮多個”定理的證明2.5.2.1. 假設素數只有有限的n個，其中最大的素數是p2.5.2.2. 設q爲所有素數之積加上1，即q=（2×3×5×…×p）+1，則q不爲素數2.5.2.3. 那麽，q就可以被2、3、…p中的某一個數整除2.5.2.4. 根據公式，q被2、3、…p中任意一個數整除後又會余1，與前結論相互矛盾2.5.2.5. 由此可證明，素數個數是無限的2.6. 數學家喜歡在證明的結尾寫一個QED的標記，其源自拉丁語quod erat demonstrandum（意爲“這被證明了”）的縮寫2.6.1. 數學證明最重要的不是追求“證明完畢”，也不是得到的最終結果，而是整個證明的過程，即通向目的地的旅程，這就像音樂的全部並不是最後的一個和弦一樣2.7. “令人驚訝”是數學的重要特質2.7.1. 數學家的藝術不只是創造出新的東西，還包括講述一個令人驚訝的故事2.7.2. 尋找橢圓曲線的解是數學領域最棘手的問題之一2.7.2.1. 詳細陳述了數學世界的這兩個截然不同的領域是如何關聯的2.7.3. 費馬發現的關于某些類型的素數具有的一個奇特性質：如果一個素數除以4後所得余數爲1，那麽該素數等于某兩個數字的平方和2.7.3.1. 素數與平方這兩個不相關的概念建立聯系、融爲一體，獲得了巨大的滿足感3. 羅蘭·巴特（Roland Barthes）提出的五種關鍵敘事代碼3.1. 闡釋代碼3.1.1. 也稱爲“謎的代碼”，指的是類似于偵探小說中具有設謎和解謎功能的句段3.1.2. 只要文本中有需要揭示的真相、需要澄清的謎團，那麽這個文本就含有闡釋代碼3.1.3. “真相的聲音”3.2. 行動代碼3.2.1. 一系列動作的累積制造出懸念，而動作本身又隱含了下一步的敘事動作3.3. 語義代碼3.4. 符號代碼3.5. 文化代碼3.6. 均圍繞一個設計意圖展開，即故事中的某些思想會與故事之外的事物産生共鳴，從而賦予其更多的意義3.6.1. 這三者都是構建數學證明的重要工具，發掘讀者已有的知識以獲得證明的預期效果4. 數學的敘述藝術4.1. “懸念”這一特性是數學證明故事中經典的敘事工具4.1.1. 這種敘事方法被稱爲闡釋代碼，是羅蘭·巴特（Roland Barthes）提出的五種關鍵敘事代碼之一4.2. 是未解之謎（或未答之題）給出令人滿意的數學證明的核心方法4.2.1. 當我們研究數學時，能給我們帶來愉悅的就是那種想要解開謎團的渴望4.2.2. 從這個意義上說，數學證明與一部精彩的偵探小說有很多共同之處4.3. 數學證明都是從故事的結局開始4.3.1. 科幻動作或謀殺懸疑題材的作品也有類似的劇情設置4.4. 除了開場環節通過未解的問題制造的緊張感之外，數學故事的另一個敘事驅動力源自證明展開時的內在行動，它是通過故事情節的延續推動敘事邏輯沿著時間軸向前發展的動力4.5. 有時候證明需要在大量曆史知識或觀點的“觸發”下推進4.5.1. 如果利用不好這些觸發條件，就會大幅降低證明的效率4.6. 故事的總體敘事也被稱爲故事的原型或者主線4.6.1. 文學理論家們把各種故事原型進行歸納和總結，最終確定了七種不同的敘事類型，比如灰姑娘型故事、探險型故事、戰爭型故事等4.7. 數學家識別出某些證明原型，並引用其方法來幫助讀者4.7.1. 證明方法有反證法、歸納法、概率分析法，等等4.8. 張力本意是讓水滴圓潤凝聚而不分散的力量4.8.1. 若某首詩具有張力，說明這首詩全篇對中心觀點的凝聚感十分強烈4.9. 好的數學有一種張力，其證明既不會很複雜也不會很簡單4.9.1. 完美的證明有其必然性，但每一步都無法提前預測4.9.2. 追求秩序和安全的結果可能導致單調乏味和千篇一律，但爲了創新和改變而不顧秩序，則會帶來危險和不確定性4.9.2.1. 文化的曆史可以被诠釋爲在追求秩序和避免乏味之間的動態張力4.10. 盡管大多數人認爲音樂是與數學相關的創造性藝術，但講故事是最接近證明定理的創造性行爲