1. 深度數學1.1. 組合與選擇，是發明新事物的兩個不可或缺的條件1.1.1. 保爾·瓦雷裏（Paul Valéry）1.2. 利用以往的數學定理證明過程訓練算法，以發現新的定理1.3. 谷歌設在倫敦的總部整體有一種現代牛津大學的感覺，提供了有助于員工們集中注意力、進行深度思考的最佳設施及環境1.3.1. 24小時免費食物供應，配有專門的咖啡師隨時爲激活員工大腦活力而服務1.3.2. 90米長的跑道，提供免費按摩服務1.3.3. 可以上廚師丹·巴滕（Dan Batten，曾與英國廚神傑米·奧利弗共事）的烹饪課1.3.4. 當大腦處于超負荷時，員工還能去遍布于大樓各處的“睡眠倉”裏美美地睡上一覺1.3.5. 員工在工作間歇可以盡情娛樂放松，如果願意的話還可以在那裏編寫代碼1.3.6. 隨性自然不僅指著裝，更主要是人與人之間可以坦誠相見、暢所欲言1.3.7. 所有的會議室都是以阿達·洛夫萊斯等科學先驅的名字命名的1.4. 不會休息，就不會工作1.4.1. 谷歌辦公場所的“豪華”正是機器學習蓬勃發展的明顯象征1.4.2. 機器學習正用于幫助人們探索量子物理這個難以捉摸的隨機世界，同時，其也通過各種各樣的項目逐漸滲透到生物學和化學領域2. 巴別數學圖書館2.1. 阿根廷作家豪爾赫·路易斯·博爾赫斯（Jorge Luis Borges）創作的《巴別圖書館》2.2. 這個圖書館收藏著有可能被寫出來的每一本書籍2.2.1. 托爾斯泰的《戰爭與和平》隨處可見2.2.2. 達爾文的《物種起源》2.2.3. 托爾金的《指環王》2.2.4. 這些作品所有語言的譯本2.2.5. 本書也被放置在圖書館某個角落的書架上2.2.6. 托爾斯泰、達爾文、托爾金甚至本書在出版以後會被牛津大學圖書館收藏，是因爲它們被人（許多人）認爲是文學世界的瑰寶，它們值得在那裏被收藏2.3. 因爲每頁有40行，所以就有（25^80）40=25^(80×40)種可能的組合方式。每本書有410頁，進而可得（25^(80×40)）^410=25^(80×40×410)種可能的組合方式，這就意味著圖書館的藏書總數達到了25^(40×80×410)本2.3.1. 給定宇宙可觀測範圍內的原子總數爲10^80，那麽用一個原子代表一本書，即使把所有的原子都用光，也遠遠達不到巴別圖書館裏的藏書總數2.4. 人們意識到這個似乎包羅萬象的圖書館裏實際上什麽都沒有2.4.1. 它是我們自己的圖書館（我們稱之爲宇宙）的隱喻2.5. 數學不僅僅是由一組我們所能發現的關于數字的真命題構成的2.5.1. 這可能會讓大多數非數學專業人士感到震驚2.5.2. 證明定理的過程就是在敘述故事和塑造角色2.5.3. 他們判斷和選擇故事是基于對故事情節産生的情緒反應2.6. 創造，意味著不制造無用的組合，而僅制造那些少量且有用的2.6.1. 不是人人都能創造出像貝多芬的《大調賦格》（Grosse Fuge）或者艾略特的《荒原》（The Waste Land）那樣的偉大作品2.6.2. 創造即甄別，即選擇2.6.2.1. 數學是被創造的，歸根結底是鑒別和選擇2.6.2.2. 數學是一門關于鑒別和選擇的學問2.6.2.2.1. 龐加萊2.7. 數學不僅是一門有用的科學，而更像是一門創造性的藝術2.7.1. 定理證明的敘述，是決定這個定理能否在數學的萬神殿中占據一席之地的重要因素2.7.2. 一個好的證明就像一個動人的故事，抑或是一首美妙的樂曲，可以啓發或引導“聽衆”踏上轉變之旅3. Mizar的數學3.1. 一個20世紀70年代在波蘭啓動的名爲Mizar的項目3.1.1. 波蘭數學家安傑伊·特裏布裏克（Andrzej Trybulec）率先啓動了該項目的研究3.1.2. Mizar的名字源于大熊座中的一顆恒星——開陽星3.1.2.1. 這個名字是由特裏布裏克的妻子取的3.1.3. 該項目旨在構建用一種容易被計算機理解和檢驗的形式語言描述的數學證明數據庫系統3.1.4. 該系統目前由波蘭比亞威斯托克大學、加拿大阿爾伯塔大學、日本信州大學的研究小組負責開發和維護3.1.5. 近年來，人們對該系統的關注程度有所下降，數據庫的發展不是很快3.1.5.1. DeepMind和谷歌研究團隊將其目標鎖定在Mizar的數據庫上，這一點超出了絕大多數人的預料3.2. 到2013年特裏布裏克去世時，Mizar已成爲世界上最大的計算機數學證明數據庫3.2.1. 一部分是將人類證明過程轉化爲計算機語言3.2.2. 另一部分則由計算機直接生成3.2.3. 經過數十年的積累，人們已經用形式語言這種計算機更容易理解的語言在Mizar的數據庫中創建了5萬多個定理3.2.3.1. 比如代數基本定理：複數域上的n次多項式有且僅有n個根3.3. 利用計算機來生成數學定理已是司空見慣、不足爲奇的事情了，甚至略微誇張一點說，計算機只要啓動，就可以證明定理3.3.1. 一個定理的不同證明中往往會出現重疊3.3.2. 真正要解決問題是，在被給定一個命題（特定的終點）時，計算機是否能夠找到通往該終點的路徑，即命題的證明3.3.3. 如果不能，那能說明這個命題是假命題嗎？3.4. 計算機在Mizar數據庫中生成證明的流程3.4.1. 整理出數學、幾何學的基本公理列表3.4.2. 制定推理規則3.4.3. 用一系列相互關聯的推理規則構建出某一定理的證明過程3.5. 證明定理和下圍棋在本質上是相互關聯的3.5.1. 兩者都是在可能的輸出結果樹中尋找特定的節點3.5.2. 每個節點又具有不同分支，且到達某一特定終點（葉子節點）的分支長度有可能非常長3.5.3. 問題的關鍵就在于如何選擇分支以獲得最期待的輸出結果3.5.3.1. 贏得一場比賽或證明一個定理3.6. 通過對Mizar相關數據的研究，DeepMind和谷歌研究團隊發現其約有56%的定理證明沒有人類參與的痕迹3.6.1. 用計算機成功生成的證明來訓練該機器學習算法，通過對Mizar數據庫中已有數據的學習獲得探索證明樹的好方法3.6.2. 已將Mizar數據庫中機器證明的比例提高到了59%3.6.3. 這個看似微不足道的“一小步”，代表的卻是新技術應用的“一大步”3.6.4. 它不僅僅是多證明一個定理或者多贏一場比賽，而是計算機可以完成的證明量增加了3%3.7. 該算法在很大程度上擴展了計算機的應用範圍，打開了計算機産生定理的新篇章3.7.1. 就像學習演奏爵士樂的算法，決定它前景的是一個合乎音樂繼續發展的邏輯，而不是接下來到底演奏哪個音3.7.2. 實際上，機器只是盲目地生成了一些粗制濫造的“數學音樂”，而不是我所期望的“天籁之音”3.7.3. 沒有人評判這些新發現的價值，也沒有人對其中是否有令人驚訝的啓示而感興趣3.7.3.1. 它們只是新的而已3.8. 首先創建一個數學命題列表，然後用公理去證明這些命題以驗證其真假3.8.1. 對命題的證明就是進入Mizar數據庫的必要條件3.8.2. 對于命題的實質是什麽，是否有人會覺得它足夠有趣，是否可以與其他數學家分享等，Mizar並不關心3.8.3. 它所做的是，只要是對命題的證明，就在沒經過篩選的情況下收錄到數據庫中3.8.4. 換言之，它只是一個包含可以證明的一切的“巴別圖書館”3.9. 很少有專業的數學家聽說過Mizar項目，因爲它的目的就不是讓人真正感興趣3.9.1. Mizar構建的是看似包羅萬象實則一無所有的“巴別圖書館”4. 代數基本定理4.1. 複數域上的n次多項式有且僅有n個根4.2. 從17世紀初到現在，人類對它的證明中曾出現過多次失誤，其中不乏最偉大的數學家，諸如歐拉、高斯、拉普拉斯等人4.3. 直到1806年，讓·羅伯特·阿甘（Jean Robert Argan）才提出第一個被公認爲完整無誤的證明4.4. 以往證明中的錯誤都藏得很深，沒有足夠的時間檢驗，是極不容易被發現的4.5. 倘若計算機能夠發現人類證明中隱藏的錯誤，那麽它在證明定理方面的正確性和有效性就會被刮目相看了